HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012
Câu 1:
Giải hệ:

Giải phương trình:

Câu 2:
Cho hai số dương x,y thỏa mãn
. Tìm GTNN của biểu thức:

Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Câu 3: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn
. Tính tổng:


Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D, vẽ đường tròn tâm O đường kính CD. Đường thẳng BD cắt đường tròn (O) tại E, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại F.
Chứng minh rằng: CA là đường phân giác của góc BCF.
Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua BC. Chứng minh tứ giác BMCN nội tiếp.
Xác định vị trí của D trên AC để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kính nhỏ nhất.
Câu 5: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh rằng:



HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1:
a) ĐK:

Dễ thấy x=0 không là nghiệm của hệ. Do đó

Hệ pt
. (1)*2-(2) được pt:
. Thay vào (1) được

ĐS: (144;36)
b) Ta có:



Đặt
, ta được phương trình:

+ Với

+ Với
, vô nghiệm.
ĐS:

Câu 2:
a) Ta có:

Ta có BĐT:
. Đẳng thức xảy ra khi x=y. Suy ra:
. Ta có:

. Do vậy GTNN của A bằng 9 khi

b) Nhận thấy x=1 là nghiệm của phương trình.






.
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phân biệt khác 1



Câu 3: Thay
. Ta xét




( vì x,y,z>0)
Tương tự…, ta có:

ĐS: S=4
Câu 4:


a) Ta có:
+
(1) ( góc nội tiếp chắn cung DF)
+ Tứ giác ABCE có
(gt);
(góc DEC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Suy ra ABCE là tứ giác nội tiếp nên :
( góc nội tiếp chắn cung AB) hay ta có
(2).
Từ (1) và (2) ta có
hay CA là phân giác của góc BCF.
b) Ta có tam giác MBD và tam giác NBD là hai tam giác cân tại B; tam giác DCN cân tại C. Nên
. Khi đó:
. Suy ra MBNC là tứ giác nội tiếp.
c) Ta thấy BC là dây cố định của đường tròn ngoại tiếp MBNC. Do đó đường tròn ngoại tiếp MBNC có bán đường kính nhỏ nhất bằng BC khi góc BMC vuông


Câu 5:
+ Chứng minh bđt:
(*), với mọi x,y,z>0. Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.
Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dương, ta có:
. Dấu “=” xảy ra khi x=y=z.

.
+ Áp dụng (*) trên:

. Đẳng thức xảy ra khi a=b

. Đẳng thức xảy ra khi b=c

. Đẳng thức xảy ra khi a=c
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

. (đpcm). Đẳng thức xảy ra khi a=b=c