SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC


KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015–2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình:
.
b) Giải hệ phương trình:

Câu 2 (2,0 điểm).
a) Tìm số nguyên tố p để
là lập phương của một số tự nhiên.
b) Trong bảng
ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5.
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi
tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ
gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC; gọi
tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh rằng tứ giác
nội tiếp.
c) Chứng minh rằng

Câu 4 (1,0 điểm).
Cho các số thực dương
thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:


Câu 5 (1,0 điểm).
Điểm
của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên. Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ nđiểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0).

———— HẾT————

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh…………………………………… Số báo danh……………
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
(Hướng dẫn chấm có 04 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015-2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
—————————


A. LƯU Ý CHUNG
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung trình bày
Điểm

1


3,0





































a
Đk:

0,25



Ta thấy
không là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra
.
Khi đó, phương trình đã cho tương đương:

0,25



Đặt
(1) trở thành


.
Kết hợp với điều kiện

0,5



Với


Vậy, phương trình đã cho có nghiệm
và
.
0,5


b










Ta thấy
không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra
.
Hệ đã cho tương đương:

Đặt
hê đã cho có dạng

0,5




do
vô nghiệm
0,25



Với


+)
hệ đã cho có nghiệm

0,25



+)
hệ đã cho có nghiệm

Vậy, hệ đã cho có nghiệm
là:
và
.
0,5

2


2,0


a
Do
là lập phương của một số tự nhiên, suy ra
lẻ

0,5



Khi đó,
.
Vì p là nguyên tố nên k chỉ có thể là 1
.
Vậy, số nguyên tố p cần tìm là 13.
0,5


b
Ta xét hàng có ô ghi số 1 và cột có ô ghi số 121, khi đó hiệu giữa hai số ghi ở hai ô này là 120.
0,25



Số ô vuông cách nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông (10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột). Ví dụ trong bảng trên ô ghi